Zmienne losowe

$(\Omega ,\mathcal{F},P)$ to przestrzeń probabilistyczna. Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję X: $\Omega =>R$
która spełnia warunek:
$\{\omega :X(\omega )\le a\}\in \mathcal{F}$ dla każdego $a\in R$ . Jak coś spełnia ten warunek, to jest mierzalne.

Rozróżniamy:

1. zmienne losowe dyskretne -> przyjmują one skończoną liczbę wartości.
2. zmienne losowe absolutnie ciągłe -> przyjmują nieprzeliczalną liczbę wartości ich rozkład da się opisać funkcją gęstości
   $P(X\in A)={\int }_{A}f(x)dx$ dla dowolnego $A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Własności funkcji gęstości:

1. f(x) >= 0
2. ${\int }_{R}f(x)dx=1$

Dla zmiennych absolutnie ciągłych mamy $P(X=a)={\int }_{\{a\}}f(x)dx=0$ , co nie musi być prawdą.

Wielkości opisujące zmienne losowe

Dystrybuanta

$F(x)=P(X\le x)$ . Jeśli X to zmienna losowa dyskretna, to jej dystrybuanta jest funkcją schodkową, prawostronnie ciągłą. Jeśli jest absolutnie ciągła, to:
$F(t)=P(X\le t)={\int }_{-\infty }^{t}f(x)dx$
Dystrybuanta jest:

1. niemalejąca
2. co najmniej prawostronnie ciągła
3. dąży do zera po lewej i do 1 po prawej stronie.
   Każda funkcja spełniająca te własności jest dystrybuantą jakiejś zmiennej losowej.

Ogon dystrybuanty

1- F(x) = P(X > x)

Kwantyl rzędu $\alpha \in (0,1)$

$q_{\alpha }$ to najmniejsza liczba spełniająca $F(q_{\alpha })>=\alpha$

Wartość oczekiwana

1. dla zmiennych dyskretnych
   $EX={\sum }_k{x}_k{p}_k$
2. dla zmiennych absolutnie ciągłych
   ${\int }_{\mathbb{R}}xf(x)dx$
   Jak wartość oczekiwana jest równa $+/-\infty$ to mówimy że nie istnieje.
   Własności wartości oczekiwanej:

• E(a) = a
• E(aX) = aE(X)
• E(X + Y) = E(X) + E(Y)
• jeśli X <= Y to EX <= EY

Wariancja

$Var(X)=E((X-EX{)}^2)=E(X^2)-(EX{)}^2$
gdzie $E(X^2)$ to
${\sum }_k{x}_k^2{p}_k$
dla zmiennych losowych dyskretnych oraz
${\int }_{\mathbb{R}}{x}^{k}f(x)dx$
dla zmiennych losowych absolutnie ciągłych.
Szczególnie:
$E(g(X))={\sum }_{k}g(x)p_{k}lub{\int }_{\mathbb{R}}g(x)f(x)dx$
zależnie czy jest zmienna losowa abs. ciągła czy dyskretna.

Własności wariancji:

1. jeśli $a,b\in \mathbb{R}$ i Var(X) istnieje, to $Var(aX+b)=a^{2}Var(X),Var(b)=0$
2. dla każdej X, że Var(X) istnieje, Var(X) >= 0

Odchylenie standardowe

$\sigma =\sqrt{Var(X)}$
Przykłady rozkładów na kartce.