Weryfikacja hipotez

Hipotezą statystyczną nazywamy przypuszczenie, dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie pobranej próby.

Hipotezy dotyczące wartości parametru/ów nazywamy hipotezami parametrycznymi.

Hipotezy proste to takie, które jednoznacznie określa rozkład badanej cechy. Hipoteza złożona nie robi tego.

W praktyce rozważamy dwie hipotezy: zerowa oraz alternatywna.

Statystyka testowa

Nazywamy nią funkcję próby $\delta (X_1,...,X_n)$, która służy do weryfikacji $H_0$ przeciwko $H_1$.

Jeśli $\delta (X_1,...,X_n)\in W$, to $H_0$ odrzucamy
Jeśli $\delta (X_1,...,X_n)\in W^{\prime }$ , to $H_1$ przyjmujemy.
W nazywamy zbiorem odrzuceń bądź zbiorem krytycznym testu.

Rodzaje błędów

1. Odrzucamy $H_0$ gdy jest ona prawdziwa
2. Nie odrzucamy $H_0$ gdy jest ona fałszywa

Pierwszy rodzaj -> odrzucamy poprawna hipoteze , drugi to false positive

Poziom istotności testu

Oznaczamy jako $\alpha \in (0,1)$ , jest to kres górny wszystkich możliwych wartości prawdopodobieństwa błędu pierwszego rodzaju. Dokładniej, jeśli $H_0:\theta \in {\Theta }_0$ , to :
$\alpha =su{p}_{\theta \in {\Theta }_0}P(A)$ gdzie A oznacza odrzucenie $H_0$ , gdy testowany parametr ma wartość $\theta$.

Jest to wartość narzucana z góry, czyli test ma być tak dobrany że prawdopodobieństwo odrzucenia poprawnej hipotezy $H_0$ jest co najwyżej równa $\alpha$.

Jako że wraz z minimalizacją możliwości popełnienia błędu pierwszego uwrażliwiamy się na możliwość popełnienia testu drugiego, zazwyczaj po prostu ustawiamy $\alpha$ na jakąś wartość a potem szukamy jak najmniejszego prawdopodobieństwa popełnienia błędu 2.

Funkcja mocy

$\beta (\theta )=P(odrzuci{H}_0|\theta )$
Szczególnie dla ${\theta }_0\in {\Theta }_0$ , czyli dla wartości parametru spełniających hipotezę zerową:
$\beta ({\theta }_0)=P(odrzuci{H}_0|H_0)$ czyli jest to prawdopodobieństwo błędu 1, oraz dla ${\theta }_1\in {\Theta }_1$:
$\beta ({\theta }_1)=P(odrzuci{H}_0|H_1)=1-P(odrzuci{H}_1|H_1)$
czyli 1 - prawdopodobieństwo popełnienia błędu 2 rodzaju.

Definicja

Najmniejszy poziom istotności, przy którym zaobserwowana wartość statystyki testowej prowadzi do odrzucenia $H_0$ nazywamy p-value.

• jeśli p-value <= $\alpha$ ====> odrzucamy $H_0$
• jeśli p-value > $\alpha$ ====> przyjmujemy $H_0$