Wektory losowe

Wektor losowy to grupa zmiennych losowych określonych niekoniecznie na tej samej przestrzenie probabilistycznej. $X=(X_1,...,X_d).$

Funkcja masy prawdopodobieństwa

Dla d-wymiarowych dyskretnych wektorów losowych:
$p(x_1,x_2,...,x_d)=P(X_1=x_1\wedge X_2=x_2\wedge ...)$

• Oczywiście p >= 0 dla każdego możliwego $(x_1,...,x_d)$ .
• ${\sum }_{x_1,...,x_d}p(x_1,..,x_d)=1$

Jak dla danej funkcji spełnione są powyższe warunki, to wiadomo że to funkcja masy prawdopodobieństwa jakiegoś wektora losowego.

Rozkład brzegowy otrzymuje się:
$P(X_i=x_i)={\sum }_{x1,....,x_{i-1},x_{i+1},x_d}p(x_1,...,x_d)$ Dla d-wymiarowych absolutnie ciągłych wektorów losowych:
$P(X\in A)={\int }_A{f}_X(x_1,...,x_d)d{x}_{1}d{x}_2...d{x}_d$
Całka po $\mathbb{R}$ daje 1.

gęstość brzegowa analogicznie, tylko że nie całkujemy po x_i.

Łączna dystrybuanta

$F_X(x_1,x_2,...,x_d)=P(X_1\le x_1,X_2\le x_2,...)$
Przez dystrybuantę brzegową oznacza się:

Niezależność zmiennych losowych

Musi być spełniony warunek:
$F_X(x_1,...,x_d)=F_{X_1}(x_1)F_{X_2}(x_2)....$

Twierdzenie o niezależności

Jeśli X to dyskretny wektor losowy, to zmienne losowe $X_1,...,X_d$ są niezależne wtw. gdy:
$P(X_1=x_1,...,X_d=x_d)=P(X_1=x_1)...P(X_d=x_d)$
Natomiast jeśli X to absolutnie ciągły wektor losowy, to $X_1,...,X_d$ są niezależne wtw. gdy:
$f_X(x_1,...,x_d)=f_{X_1}(x_1)....f_{X_d}(x_d)$

Kowariancja i współczynnik korelacji

Zakładamy że Var’y oraz EX istnieją

Kowariancja

Nazywamy nią liczbę:
$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

gdzie:
$E(XY)={\sum }_{k,l}{x}_k{y}_{l}P(X=x_k,Y=y_l)$ dla dyskretnych wektorów losowych oraz:
$E(XY)={\int }_{{\mathbb{R}}^2}xy{f}_{(X,Y)}(x,y)dxdy$

Współczynnik korelacji

${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$
Jeśli współczynnik korelacji = 0, to X i Y nieskorelowane.

Własności współczynnika korelacji:

1. $\rho \le 1\wedge \rho \ge -1$
2. $\rho$ to siła miary zależności X i Y. ${\rho }_{XY}=1$ wtedy i tylko wtedy gdy: P(Y = aX + b) = 1
   (a > 0 to $\rho$ = 1 i a < 0 to $\rho =-1$)

Twierdzenie o operacjach na wartościach oczekiwanych

$E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c$
$Var(aX+bY+c)=a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)+2abCov(X,Y)$

Twierdzenie o niezależności zmiennych losowych

Jeśli zmienne losowe są niezależne, to $E(XY)=EXEY$ , co pociąga za sobą $Cov(X,Y)=0$
i dalej $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$. Jeśli wiemy że wariancje X i Y są niezerowe, to ${\rho }_{XY}=0$

Macierz kowariancji

Rozkład sumy zmiennych losowych

Niech wektor losowy $(X,Y)$ ma gęstość $f(x,y)$. Wtedy zmienna losowa $Z=X+Y$ ma gęstość daną wzorem $f_Z(z)={\int }_{\mathbb{R}}f(x,z-x)dx$

Przykłady rozkładów sum niezależnych zmiennych losowych

Jeśli $X_1,...,X_d$ to niezależne zmienne losowe i

1. $X_i$ ma rozkład dwupunktowy dla każdego $i\in 1,..,d$ to $Z=X_1+...+X_d$ ma rozkład dwumianowy binom(n,p)
2. $X_i$ ma rozkład Poissona o ${\lambda }_i$ , to Z zdefiniowane jak wyżej też ma rozkład Poissona o $\lambda ={\lambda }_1+...+{\lambda }_d$
3. $X_i$ ma rozkład normalny o $\mathcal{N}({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$ , to Z tak jak wyżej ma rozkład
   $\mathcal{N}({\mu }_1+...+{\mu }_n,{\sigma }_1^2+...+{\sigma }_n^2)$
4. $X_i$ ma rozkład Gamma($a_i$, s) ,to Z ma rozkład $Gamma(a_i+...+a_n,s)$