Twierdzenia graniczne

Nierówność Czebyszewa

Jeśli zmienna losowa X ma skończoną wariancję, to dla każdego c >0 prawdziwe jest $P(|X-EX|\ge c)\le \frac{Var(X)}{c^2}$

Zbieżność zmiennych losowych

Jeśli $X_1,...,X_n$ są określone na $(\Omega ,\mathcal{F},P)$, to jeśli
${\lim }_{n->\infty }{X}_n(\omega )=X(\omega )$ to powiemy, że ciąg ($X_n$) zbiega do zmiennej losowej X.
Jako że ta zbieżność zachodzi bardzo rzadko zastępuje się ją innymi:

Zbieżność ciągu prawie na pewno

$X_1,...,X_n$ zbiega do X prawie na pewno, gdy $P(\{\omega :{\lim }_{n->\infty }{X}_n(\omega )=X(\omega )\}=1$

Zbieżność ciągu według prawdopodobieństwa

Jeśli dla każdego $ϵ$ > 0 zachodzi
${\lim }_{n->\infty }P(\{\omega :|X_n(\omega )-X(\omega )|>ϵ\})=0$

Zbieżność względem p-tej średniej

${\lim }_{n->\infty }E(|X_n-X{|}^p)=0$

jak p = 2, to nazywamy to zbieżnością średniokwadratową.

Zbieżność według rozkładu

${\lim }_{n->\infty }{F}_n(x)=F(x)$
dla każdego $x\in \mathbb{R}$ , który jest punktem ciągłości F.

Zachodzą następujące zależności
(z prawdopodobieństwem 1 / wg. p-tej średniej) -> wg. prawdopodobieństwa -> wg. rozkładu

Twierdzenia graniczne

Mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa

($X_n$) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie o skończonej wartości oczekiwanej $\mu =E(X_1)$ i oznaczamy $S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$ . Wtedy:
$\frac{S_n}{n}$ zbiega prawie na pewno do $\mu$ .

Twierdzenie Poissona

Jeśli ($X_n$ ) jest ciągiem zmiennych losowych takim, że $X_n$ ~ binom(n,$p_n$), gdzie ${\lim }_{n->\infty }n{p}_n=\lambda >0$ , to
$X_n-{>}_{d}X$
gdzie X ~ Pois($\lambda$) ,
co pociąga za sobą:
${\lim }_{n->\infty }P(X_n=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$

Centralne twierdzenie graniczne

$(X_n)$ to ciąg niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie ze skończoną wariancją. Oznaczmy $\mu$ = $E(X_1)$ , ${\sigma }^2=Var(X_1)$ i $S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$ . Wówczas:
$\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}-{>}_{d}U$które ma rozkład U ~ $\mathcal{N}(0,1)$ , co inaczej można zapisać jako:
${\lim }_{n->\infty }P(\frac{S_n-\mu n}{\sigma \sqrt{n}}\le x)=\varphi (x)$
dla każdego $\varphi \in \mathbb{R}$

.