Prawdopodobieństwo

$\Omega$ - dowolny niepusty zbiór, który oznacza przestrzeń zdarzeń elementarnych.

Np.: Przy jednorazowym rzucie monetą $\Omega =\{O,R\}$

$\mathcal{F}$ - przestrzeń zdarzeń losowych, jest to $\sigma$ -ciało podzbiorów $\Omega$.

1. Jeśli $\Omega$ przeliczalna, to za $\mathcal{F}$ można przyjąć zbiór wszystkich podzbiorów $\Omega$ .
2. Jeśli $\Omega$ nieprzeliczalna, to bierze się wtedy $B(\Omega )$

Definicja $\sigma$ -ciała

$\sigma$ -ciało podzbiorów $\Omega$ to rodzina $\mathcal{F}$ podzbiorów $\Omega$ spełniająca warunki:

1. $\Omega \in \mathcal{F}$
2. jeśli $A\in \mathcal{F}⟹A^{\prime }=\Omega -A\in \mathcal{F}$
3. jeśli $A_1,A_2,......\in \mathcal{F}⟹A_1\cup A_2\cup ....\in \mathcal{F}$

Definicja prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo to funkcja P : $P:\mathcal{F}->R$ spełniającą warunki:

1. P(A) >= 0 dla każdego $A\in \mathcal{F}$
2. $P(\Omega )=1$
3. jeśli $A_1,A_2,....\in \mathcal{F}$ są zdarzeniami parami rozłącznymi, to $P(A_1\cup A_2\cup ...)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i)$

Przestrzeń probabilistyczna

Nazywamy trójkę ($\Omega ,\mathcal{F},P$ ).

Własności prawdopodobieństwa

1. P($\varnothing$ ) = 0
2. jeśli $A_1,A_2,....,A_n\in \mathcal{F}$ są parami rozłączne, to: $P(A_1\cup ...\cup A_n)=P(A_1)+...+P(A_n)$
3. $P(A^{\prime })=1-P(A)$
4. jeśli $A,B\in \mathcal{F}$ i $A\subset B$, to $P(A)\le P(B)$
5. jeśli $A_1,A_2,...\in \mathcal{F}$ to $P(A_1\cup A_2....)\le {\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i)$
6. jeśli $A,B\in \mathcal{F}$ , to $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
7. 

Prawdopodobieństwo geometryczne

Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest wtedy nieprzeliczalna.

$B(\Omega )$ - najmniejsze $\sigma$ -ciało do którego należą wszystkie otwarte podzbiory $\Omega$ .

P(A) = $\frac{miara(A)}{miara(\Omega )}$ dla każdego $A\in \Omega$

Zdarzenia niezależne

A i B niezależne, gdy

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, takiego że P(B) > 0 jest:
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Prawdopodobieństwo całkowite

($\Omega ,\mathcal{F},P$) to przestrzeń probabilistyczna. Jak:

1. $B_1,B_2,....,B_n\in \mathcal{F}$
2. $B_1\cup B_2\cup ...\cup B_n=\Omega$
3. $B_1,B_2,...,B_n$ są parami rozłączne
4. prawdopodobieństwo wszystkich jest większe od 0
   to :
   $P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$

Wzór Bayesa:

Jeśli $B_1,...,B_n$ stanowią zupełny układ zdarzeń, zaś A jest dowolnym zdarzeniem o P(A) > 0, to
$P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}$
czyli prawdopodobieństwo na odwrócony ciąg przyczynowo skutkowy przez prawdopodobieństwo całkowite.