Estymacja przedziałowa

Przedziałem ufności dla parametru $\theta$ na poziomie ufności 1 - $\alpha$ ,gdzie $\alpha \in (0,1)$ nazywamy przedział (${\theta }_1,{\theta }_2$), gdzie ${\theta }_1$ i ${\theta }_2$ to mierzalne funkcje próby (estymatory) takie że ${\theta }_1\le {\theta }_2$ oraz $P(\theta \in ({\theta }_1,{\theta }_2))=1-\alpha$ dla każdego $\theta \in \Theta$.

Końce przedziału ufności to zmienne losowe. Dla różnych realizacji próby może być tak, że raz parametr należy do wyznaczonego przedziału ufności(wyznaczony dla jakiejś próby), a raz nie.

Długość przedziału ufności

$l_n={\theta }_2(X_1,...,X_n)-{\theta }_1(X_1,...,X_n)$
Żeby estymacja była jak najlepsza (pod względem precyzji), to staramy się minimalizować długość przedziału ufności. Ponownie, $l_n$ to zmienna losowa, więc może być tak że dla jednej realizacji próby długość jednego przedziału jest większa niż drugiego, a dla innej realizacji próby wice wersa. Dlatego tak samo jak w estymatorach punktowych, wykorzystuje się wartości oczekiwane długości przedziałów ufności.

Przedziały ufności dla wartości średniej

Modele te są wszystkie na kartkach do egzaminu, więc skrótowo opiszę tylko kiedy korzystać z którego.

Model 1

Nieznana jest EX, znana jest wariancja. Wtedy z przekształceń na zmiennych losowych dostajemy U ~ N(0,1).

Model 2

Nieznana wartość oczekiwana ani wariancja. Wykorzystywany jest wtedy wzorek na zmienna losową o rozkładzie t studenta.

Model 3

Nieznana wartość oczekiwana oraz nieznana wariancja. dla tego problemu n jest duże (>= 100)
Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że

Jako że $S_n$ jest mocno zgodnym estymatorem parametru $\sigma$ to można go tam zastąpić dostając

Przedziały ufności dla wariancji

Model

Wymagana liczność próby do osiągnięcia danej długości przedziału ufności

Jako że długość przedziału ufności jest zależna od liczności próby, zwiększając liczność próby można z góry ograniczyć długość przedziału na danym poziomie ufności

Model 1 dla wartości średniej

Model 3 dla wartości średniej

$n_0>30$

Jako że wartość n jest zależna od wartości wariancji, to najpierw liczymy wariancję dla próby losowej o mniejszej liczności, a następnie sprawdzamy co jest większe. Można wtedy dolosowywać te pozostałe n, nie trzeba powtarzać całości.

Model 2

tutaj nie wymagamy n0 >30, poniewaz ten wzor nie zalezy juz od rozmiaru. Model III wykorzystuje prawo wielkich liczb, ten nie.